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转动惯量导入

我们知道，力的定义如下：

【资料图】

（其中是力。根据牛顿第二定律，，为物体的质量，为物体的加速度。$p$为动量，定义如。矢量物理量仅在本章打向量箭头，方便理解）

根据角动量的定义：

（其中为角动量）

显然可得：

（其中为力矩）

我们可以类比力的定义式子，我们是否可以用角加速度乘以一个东西定义力矩呢？显然可以。

（其中为角加速度）

这是我们需要定义一个新的物理量。在力的定义式中，的全称为“惯性质量”。那么我们可以称I为“转动惯性质量”，简称“转动惯量”。

转动惯量的定义式

根据上面的公式，我们可以得到：

两边同时对时间积分：

可得：

（其中为角速度的变化量）

小绿本《物理竞赛教程（高中第一分册）》中的刚体力学那一章对转动惯量的定义原话如下：

转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量。设刚体中质量元与转轴的距离为，则刚体绕该轴转动时的转动惯量定义为

刚体的转动惯量，既与刚体的质量及其分布情况有关，也与转轴的位置有关。设刚体的质量为，则转动惯量可记为

其中称为刚体的回旋半径。

根据我们计算得到的，我们可以尝试将其换一种形式表达：

由此可见，我们的计算是没有问题的。

那么动能的公式，我们可以推导成和的形式吗？当然可以！

物体转动惯量的计算

1. 质点的转动惯量

对于一个质量的质点，与转轴的垂直距离为时，根据定义式，其转动惯量

2. 棍棒的转动惯量

(1) 端点轴

对于一个质量为，长度为l的密度均匀棍棒，围绕其一端点旋转。设其线密度，将其木棒分成许多长度为的小块，每个距离转轴为，

(2) 中心轴（质心轴）

同样的木棒，围绕其中心（质心）轴旋转，可看做两个小棍棒围绕端点旋转，并且其长度，易得

(3) 偏移中心的棍棒转动惯量

我们假设原先转轴的转动惯量为，偏移转轴距离后的转动惯量为，棍棒质量为，长度为。我们从转轴向外积分可得：

我们发现，当转轴取质心时，。所以对于任意一个转轴，与质心距离为d时，转动惯量

这也被称作平行轴定理

3. 圆盘的转动惯量

我们可以从中心往外积分

4. 薄球壳的转动惯量

从上往下把球壳看做圆环即可

设其面密度，极坐标角度为，则其宽度为，面积，圆环半径为

5. 球体的转动惯量

球体可以从球心向外积分，分成许多薄球壳。

设球的体密度。每一个球壳半径为，厚度，体积

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